Binomische Formel Beispiel Essay

Die 3 binomischen Formeln sollen Mathematikern das Leben erleichtern. Vielen Schülern kommt dies jedoch gerade beim ersten Arbeiten mit den binomischen Formeln gar nicht als Erleichterung rüber. Dieser Artikel wird hoffentlich allen Interessenten eine Erleuchtung in diesem Bereich bieten.

Wer sich mit der Rechnung rund um Klammern auskennt, der braucht die binomischen Formeln eigentlich gar nicht. Denn diese ergeben sich zwangsläufig aus den Rechengesetzen. Warum diese dennoch in der Schule behandelt werden, hat einen einfachen Grund: Sie erleichtern das Leben. Die 3 binomischen Formeln stellen somit eine "Abkürzung" dar. Und welcher Schüler geht nicht gerne den Weg des geringsten Widerstandes? Bevor wir mit dem Thema richtig loslegen, solltet ihr jedoch die Grundlagen der Klammerrechnung beherrschen. Wer hier noch zweifelt, schaut am Besten schnell einmal in die folgenden Artikel rein. Alle anderen können gleich mit der ersten binomischen Formel loslegen.

Binomische Formeln Videos:
Dieser Artikel liegt auch als Video vor.

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Erste binomische Formel

Für alle, die Klammern ausmultiplizieren können, ist die erste binomische Formel eigentlich nichts neues, auch wenn sie auf den ersten Blick abschreckend wirkt. Denn diese lautet:

  • 1. Binomische Formel: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
  • Herleitung: ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2


Die Herleitung ist für alle diejenigen interessant, die sich Fragen: "Woher kommt das eigentlich?" Alle anderen benötigen nur den mathematischen Ausdruck, den ich fett markiert habe. Die Herleitung zeigt einfach nur, wie man die Klammern ausmultipliziert ( was wir im oben verlinkten Abschnitt bereits erklärt haben ). Ein paar Beispiele demonstrieren, wie man die Formel anwendet:

  • ( 3 + 4 )2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 9 + 24 + 16 = 49
  • ( 1 + 2 )2 =12 + 2 · 1 · 2 + 22 =1 + 4 + 4 = 9


Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen ein. Vergleicht die Formel mit dem was ich oben vorgerechnet habe, dann sollte es klarer werden. Unsere Übungsaufgaben ( Link am unteren Ende des Artikels ) dazu sollten ebenfalls für zusätzliche Erleuchtung sorgen.

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Zweite Binomische Formel

Die zweite binomische Formel sieht sehr ähnlich aus. Nur hier findet sich nun ein negatives Vorzeichen. Es folgt wieder die Formel samt Herleitung:

  • 2. Binomische Formel: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
  • Herleitung: ( a - b )2 = ( a - b ) · ( a - b ) = a2 - ab -ba + b2 = a2 - 2ab + b2

Auch hier geht es letzten Endes darum, in der Aufgabestellung zu sehen "Ok, da ist eine Differenz in der Klammer" und dann einzusetzen. Zum besseren Verständnis auch hier wieder zwei kleine Beispiele:

  • ( 4 - 2 )2 = 42 -2 · 4 · 2 + (2)2 =16 - 16 + 4 = 4
  • ( 3 - a )2 = 32 - 2 · 3 · a + a2 = 9 - 6a + a2

Auch hier wieder der Rat: Vergleicht die 2.Binomische Formel von oben mit dem was in den Beispielen gerechnet wurde. Anschließend solltet ihr die Übungsaufgaben machen, welche am unteren Ende des Artikels verlinkt sind.

Dritte Binomische Formel

Kommen wir zur dritten - und damit letzten - binomischen Formel. Diese hilft zwei Klammern zu multiplizieren, die wie folgt aussehen:

  • 3.Binomische Formel: ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
  • Herleitung: ( a + b ) ( a - b ) = a2 -ab + ba -b2 = a2 - b2

Diese Formel ist somit anzuwenden, wenn man zwei Klammern hat, bei der sich die zweite Variable nur im Vorzeichen anders verhält. Auch hier helfen ( hoffentlich ) einige Beispiele zur Verdeutlichung:

  • ( a + 3 ) ( a - 3 ) = a2 -32 = a2 - 9
  • ( 2 + b ) ( 2 - b ) = 22 - b2 = 4 - b2

Binomische Formeln Hoch 3,4,5 etc., Übungen und Faktorisieren

Um noch mehr über die Binomischen Formeln zu erfahren, finden sich im nun Folgenden eine Reihe an weiteren Artikeln und Angeboten zu diesem Thema.

Links:

Die Binomischen Formeln werden in diesem Artikel behandelt. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was die Binomischen Formeln sind und wozu man diese braucht.
  • Viele Beispiele zum Einsatz der Binomischen Formeln, vorwärts wie rückwärts.
  • Aufgaben und Übungen mit denen ihr selbst üben könnt. Mit Musterlösungen für alle Übungsaufgaben.
  • Videos zu den Binomischen Formeln mit vielen Erklärungen und Beispielen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich mit vielen typischen Fragen rund um die Binomischen Formeln.

Wir sehen uns hier gleich die Binomischen Formeln (Binomischen Gleichungen) an. Diese sollen einfacht erklärt und gezeigt werden. Wer dennoch merkt, dass ihm nötige Vorkenntnisse fehlen, der sollte noch in diese Inhalte reinsehen: Terme umformen. Alle anderen können gleich hier weitermachen.

Erklärung Binomische Formel

Starten wir mit einer Erklärung zu den Binomischen Formeln. Also: Was sind denn Binomische Formeln? Binom leitet sich von bi (zwei) und Nomen (Namen) ab. Ist in der Schule von den Binomischen Formeln die Rede, dann sind damit die folgenden drei Gleichungen gemeint.

1. Binomische Formel:

2. Binomische Formel:

3. Binomische Formel:

Wofür braucht man die Binomischen Formeln?

Die drei Binomischen Formeln braucht man an diesen Stellen:

  • Sie helfen beim Ausrechnen des Quadrates von Klammern.
  • Man kann mit Ihnen das Ausmultiplizieren rückgängig machen, sprich wieder Klammern erzeugen.
  • Sie helfen beim Umformen bestimmter Gleichungen.

Wie kommt man auf die Binomischen Formeln?

Man kann sich die Binomischen Gleichungen grafisch oder rechnerisch ansehen. Da wir mit diesen aber bei den Beispielen rechnen wollen, nehmen wir hier die rechnerische Variante. Man erhält die Gleichungen von oben, in denen man ausmultipliziert. Werfen wir also kurz einen Blick auf die Herleitung.

1. Binomische Formel: Die nächste Grafik zeigt das Ausmultiplizieren der ersten Binomischen Formel. Dazu schreiben wir das Quadrat der Klammer erst einmal aus. Danach multiplizieren wir diese aus und fassen zusammen:

2. Binomische Formel: Auch hier schreiben wir zunächst die Klammer nicht mit Quadrat, sondern schreiben beide Klammern komplett hin. Danach multiplizieren wir auch wieder aus, wobei wir das Minus-Vorzeichen beachten müssen. Am Ende fassen wir erneut zusammen.

3. Binomische Formeln: Auch hier multiplizieren wir aus und müssen vor dem b das Minus-Zeichen beachten. Auch hier können wir am Ende zusammenfassen.

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Beispiele Binomische Formeln

In diesem Abschnitt soll einmal gezeigt werden, wie man die Binomischen Formeln anwendet. Dazu sollen zwei Beispiele vorgerechnet werden. Und zwar wie man die Binomischen Formeln vorwärts und rückwärts anwendet.

Beispiel 1:

Beginnen wir damit die 1. Binomische Formel vorwärts anzuwenden. Dies soll für (4y + 3z)2 gemacht werden.

Lösung:

  • Wir schreiben zunächst die erste Binomische Formel auf.
  • Dann lesen wir a = 4y und b = 3z ab.
  • Dies setzen wir in a2 + 2ab + b2 ein und rechnen das Ergebnis aus.

Beispiel 2:

Im zweiten Beispiel wollen wir die Binomischen Formeln rückwärts verwenden. Verwendet werden soll 16y2 + 24yz + 9z2. Die erste Binomische Formel soll darauf angewendet werden.

Lösung:

  • Dazu nehmen wir die Gleichung und lesen a2, 2ab und b2 ab.
  • Wir ziehen die Wurzel und erhalten a = 4y und b = 3z.
  • Damit bauen wir die 1. Binomische Formel auf (im roten Kasten).
  • Den mittleren Teil kontrollieren wir am Ende noch einmal.

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Aufgaben / Übungen Binomische Formeln

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Videos Binomische Formeln

Binomische Formeln - Video 1

In diesem Video zu den Binomischen Formeln, werden die drei Binomischen Formeln aus dem Mathematik-Unterricht hergeleitet und erklärt. Dabei werden die drei Formeln nacheinander durchgegangen und, durch Auflösen der in Klammern stehenden Werte, die jeweilige Binomische Formel hergeleitet. Es werden zwar keine Beispiele mit Zahlen gerechnet, es bietet aber einen sehr guten Einstieg in das Thema der Binomischen Formeln. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen und Antworten zu Binomischen Formeln

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit typischen Fragen zu den Binomischen Formeln.

F: Wie lerne ich die Binomischen Formeln am besten?

A: Lest diesen Artikel noch einmal gründlich durch. Lernt die drei Binomischen Formeln auswendig, die drei Gleichungen solltet ihr also im Gedächtnis behalten. Versucht auch die Herleitung zu verstehen. Im Anschluss gibt es in diesem Artikel Beispiele, die ihr selbst noch einmal nachrechnen solltet. Zusätzlich gibt es noch Aufgaben / Übungen zu diesem Thema, welche ihr auch noch lösen solltet.

F: Was passiert, wenn man die Binomischen Formeln nimmt und diese hoch 3 nimmt?

A: Dies geht natürlich auch. Auch hier kann man die entsprechenden Gleichungen angeben. Wenn man (a + b)3 und (a - b)3 ausrechnet, dann erhält man die folgenden Zusammenhänge.

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